19206501
Lecture
WiSe 14/15: Numerik IV: Numerische geometrische Integration
Sina Ober-Blöbaum
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Voraussetzungen: Numerik I und II
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In dieser Vorlesung werden numerische Methoden behandelt, welche die geometrischen Eigenschaften des Flusses einer Differentialgleichung erhalten.
Zunächst werden Grundlagen der Integrationstheorie wie der Konsistenz- und der Konvergenzbegriff wiederholt. Dann werden verschiedene numerische Integratoren (Runge-Kutta-Methoden, Kollokationsmethoden, partitionierte Methoden, Kompositionsmethoden und Splitting-Methoden) eingeführt. Für die vorgestellten Integratoren werden Bedingungen zur Erhaltung erster Integrale hergeleitet und bewiesen. Nach einer kurzen Einführung symmetrischer Integratoren werden anschließend symplektische Integratoren für Lagrange- und Hamiltonsysteme behandelt.
Dazu werden zunächst grundlegende Definitionen und Konzepte für Lagrange- und Hamiltonsysteme eingeführt wie das Hamiltonsche Prinzip, die Symplektizität, das Noether-Theorem und damit verbundene Erhaltungseigenschaften des dynamischen Systems. Eine diskrete Formulierung führt auf die Klasse der Variationsintegratoren, welche äquivalent zu der Klasse symplektischer Integratoren ist. Die Symplektizität führt auf genauere Langzeitsimulationen, was mit Konzepten der Rückwärtsfehleranalyse bewiesen und anhand von Beispielen validiert wird.
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Suggested reading
E. Hairer, G. Wanner, and C. Lubich. Geometric Numerical Integration: Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. Springer, 2004.
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