19239101 Vorlesung

WiSe 18/19: Der de-Rham-Witt-Komplex

Kay Rülling

Zusätzl. Angaben / Voraussetzungen

Voraussetzungen: Für den Bau des großen dRW-Komplexes sind nur Grundkenntnisse der kommutativen Algebra und der Differenzialtheorie erforderlich. Dann benötigen wir einen soliden Hintergrund in algebraischer Geometrie, wie in Hartshorne's Buch - typische Theorie in positiver Eigenschaft und erklären die wichtigsten Ergebnisse von Bloch und Deligne-Illusie. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir einige klassische und auch einige der neueren Entwicklungen, die oben erwähnt wurden, besprechen.

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Kommentar

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Im Folgenden erfolgt eine automatisierte Übersetzung:

Der de Rham-Witt-Komplex wurde von Bloch und Deligne-Illusie in den späten 1970er Jahren eingeführt. Seine wichtigsten Ergebnisse waren erstens, dass die Zariski-Kohomologie dieses Komplexes Grothendieck-Berthelot's kristalline Kohomologie eines glatten Schemas über ein perfektes Feld positiver Eigenschaften berechnet, und zweitens, dass, wenn X zusätzlich richtig ist, dann die Hangzerlegung à la Dieudonné-Manin des zugrunde liegenden F-Isokristalls eine kohomologische Interpretation erhält.

Nygaard nutzte die dRW-Theorie, um einen leichteren Beweis für das Rudakov-Shafarevich-Verschwinden des Theorems auf K3-Oberflächen zu liefern, und um Ogus-Mazurs Theorem über die Beziehung zwischen dem Newton - und dem Hodge-Polygon der kristallinen Kohomologie eines glatten richtigen Schemas zu verallgemeinern. Ekedahl konstruierte eine Dualitätstheorie für den dRW-Komplex und gab einen neuen Beweis für die Poincare-Dualität und die Künneth-Zerlegung.

Er analysierte auch die Hodge-Witt-Kohomologie-Gruppen, aber diese Gruppen und insbesondere ihre Torsion sind immer noch sehr geheimnisvoll und bis heute nicht gut verstanden.

Es gibt viele Varianten und Verallgemeinerungen des de-Rham-Witt-Komplexes, die sich in unterschiedlichen Zusammenhängen zeigen. Es gibt eine Log-Version von Hyodo-Kato, eine relative Version von Langer-Zink, die überkonvergente dRW von Davis-Langer-Zink, die große dRW für beliebige Ringe (oder Schemata) von Hesselholt-Madsen; sie beziehen sich auf (log/relative)-kristalline und starre Kohomologie, K-Theorie, motivische Kohomologie und topologische Hochschild Homologie, etc.

In diesem Kurs werden wir eine detaillierte Konstruktion der großen Witt-Vektoren und des dRW-Komplexes über einen allgemeinen Ring geben. Dann konzentrieren wir uns auf die p-typische Theorie in positiver Eigenschaft und erklären die wichtigsten Ergebnisse von Bloch und Deligne-Illusie. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir einige klassische und auch einige der neueren Entwicklungen, die oben erwähnt wurden, besprechen.

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Literaturhinweise

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