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SoSe 15: Projektive Geometrie der Ebene

Stefan Liebscher

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Vorkenntnisse

Lineare Algebra, (Elementar-)Geometrie

Zielgruppe: Studierende der Mathematik eröffnet die projektive Geometrie die Chance, fundamentale Sachverhalte der Differentialgeometrie, Dynamik und Kosmologie an einem interessanten, nichttrivialen Beispiel zu verstehen, das aber trotzdem noch der geometrischen Anschauung zugänglich ist. Motivierten Lehramtsstudierenden sollten hier viele Überraschungen begegnen, die (nicht nur) Schüler begeistern können. Die projektive Geometrie wird zwar auch in der allgemeinen Geometrie-Vorlesung angesprochen, für die hier verfolgte Sichtweise bleibt dort aber in der Regel kleine Zeit. Studierende der Informatik interessieren sich außerdem vielleicht für Möglichkeiten und Schwierigkeiten, die projektive Ebene als Javascript-Anwendung umzusetzen. Insbesondere zeigt sich hier, dass die direkte Nutzung der Grafikkarte im Web-Browser nicht nur den Online-Ego-Shootern nutzt.

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Inhalt

In der Kunst wurde die Perspektive in der Frührenaissance entdeckt, um Tiefenwirkung zu erzielen. Vorreiter wie Giotto di Bondonebemühten sich noch mit wechselndem Erfolg. Die Filippo Brunelleschi zugeschriebenen konstruktiven Pronzipien der Perspektive lösten einen regelrechten «Hype» in der Malerei aus. Perspektivische Darstellungen unterschiedlicher Komplexität finden sich neben vielen anderen beiLeonardo da Vinci(Verkündigung),Albrecht Dürer(Der heilige Hieronymus) undRaffael(Vermählung Mariä).

In der Geometrie quälten sich die Mathematiker in den zwei Jahrtausenden nach Euklid mit der Frage, ob durch einen gegebenen Punkt wirklich nur eine Parallele gehen kann. János Bolyai,Nikolai Lobatschewski undCarl Friedrich Gauß fanden schließlich die nichteuklidischen Geometrien, wurden jedoch weitgehend ignoriert oder gingen mit ihren Ideen erst gar nicht an die Öffentlichkeit.

Arthur Cayley undFelix Klein verdanken wir schließlich die Einbettung der euklidischen und nichteuklidischen Geometrien als Modelle der projektiven Geometrie.

Der projektive Raum gestattet einen einheitlichen Zugang zu verschiedenen Geometrien. Das kann unserer Intuition eine große Hilfe sein, wenn wir Fragen z.B. der Differentialgeometrie, Dynamik oder Kosmologie studieren.

Um die Sachverhalte noch zeichnerisch darstellen zu können, wird sich die Vorlesung weitestgehend auf die (reelle) projektive Ebene beschränken und damit beschäftigen, was man dort mit Kegelschnitten so alles anfangen kann. Hier zeigt sich die durch den projektiven Zugang erreichbare Klarheit auf besonders eindrucksvolle Weise. Die Vorlesung wird unter anderem aufzeigen, dass/wie man Geometrie betreiben kann, ohne zu messen. Auch wollen wir verstehen, inwiefern die euklidische Ebene - also unsere übliche geometrische Vorstellungswelt - ein degenerierter Grenzfall (unter den Cayley-Klein Geometrien) ist und wie uns das helfen kann, geometrische Sachverhalte zu verstehen.

In der Tat wird auf der projektiven Ebene eine Geometrie gewählt, indem ein absoluter Kegelschnitt als Menge der unendlich fernen Punkte ausgezeichnet wird. (Der absolute Kegelschnitt der euklidischen Ebene degeneriert dabei zu einer Doppelgeraden — dem Horizont.) Eigenschaften von Kegelschnitten — z.B. ihre Brennpunkte oder die Eigenschaft, Kreis zu sein, —weden so zu Relationen zwischen Kegelschnitten.

Dies kann auch eindrucksvoll am Computer dargestellt werden. So finden wir z.B.

das vollständige Viereck als fundamentale Konstruktion der projektiven Geometrie,
die Brennpunkte zweier Kegelschnitte als Ecken des vollständigen Vierseits ihrer gemeinsamen Tangenten,
Bündel und duale Bündel von Kegelschnitten, Kreisen und Horozyklen

und schließlich

einen animierten Rundkurs durch die Geometrien.

Links •Die projektive Ebene als interaktive Javascript-Anwendung