SoSe 16: Stochastik II
Felix Höfling
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Additional information / Pre-requisites
Zielgruppe: B.Sc. Mathematik und B.Sc./M.Sc. Physik
Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel B.Sc. Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für Physikstudenten (ab 4. Semester). Die begleitende Übung ist verpflichtend und stellt inhaltlich eine wesentliche Ergänzung dar.
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Inhalt
Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse mit Anwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu vertiefen. Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung bilden stochastische Differentialgleichungen, mit denen sich die Zufallspfade vieler stetiger Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige Klasse sind Diffusionsprozesse mit ihren zahlreichen Anwendungen. Die Vorlesung schließt mit der Betrachtung der physikalischen Brownsche Bewegung (z.B. von Molekülen) als einem elementaren Beispiel für nicht-markovsche Dynamik ab.
- Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
(Maßtheorie, Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung) - Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
(Brownsche Bewegung, Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem) - Markovketten
(Theorem von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus) - Stochastische Differentialgleichungen
(Ito-Integral und -kalkül, Martingale, Stratonovich-Integral, Ito-Diffusion) - Diffusionsprozesse
(infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme) - Molekulare Transportphänomene
(Brownsche Bewegung in der Physik, Modellierung des Propagators, anomaler Transport)
Suggested reading
[1] Øksendal: Stochastic Differential Equations (Springer, 2010)5
[2] Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (Springer, 2013)
[3]Gardiner: Handbook of Stochastic Methods (Springer, 2004)
[4]van Kampen: Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier, 2007)
[5] Dynkin: Markov processes (Springer, 1965)
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