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SoSe 18: Übung zu Stochastik II

Felix Höfling

Hinweise für Studierende

Der Übungsbetrieb erfolgt über FU e-Learning https://lms.fu-berlin.de/

Zusätzl. Angaben / Voraussetzungen

Zielgruppe: B.Sc. Mathematik und B.Sc./M.Sc. Physik
Die Vorlesung richtet sich vorrangig an Studierende mit Ziel B.Sc. Mathematik, eignet sich aber auch als Wahlfach für Physikstudenten (ab 4. Semester). Die begleitende Übung ist verpflichtend und stellt inhaltlich eine wesentliche Ergänzung dar.

Voraussetzungen: Grundkenntnisse aus Analysis und Linearer Algebra

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Kommentar

Inhalt
Die Vorlesung gibt eine Einführung in stochastische Prozesse mit Anwendungen in den Naturwissenschaften. Wir werden zunächst eine wahrscheinlichkeitstheoretische Beschreibung stochastischer Prozesse entwickeln, um diese dann für Gaußsche Prozesse und Markovketten zu vertiefen. Das "mikroskopische" Gegenstück zu dieser Beschreibung bilden stochastische Differentialgleichungen, mit denen sich die Zufallspfade vieler stetiger Prozesse darstellen lassen. Eine wichtige Klasse sind Diffusionsprozesse mit ihren zahlreichen Anwendungen. Die Vorlesung schließt mit der Betrachtung der physikalischen Brownsche Bewegung (z.B. von Molekülen) als einem elementaren Beispiel für nicht-markovsche Dynamik ab.

Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie
(Maßtheorie, Lebesgue-Integral, bedingte Erwartung)
Stochastische Prozesse und Korrelationsfunktionen
(Brownsche Bewegung, Gaußsche Prozesse, Wiener-Khinchin-Theorem)
Markovketten
(Theorem von Perron-Frobenius, Mastergleichung, Gleichgewicht, Metropolis-Hastings-Algorithmus)
Stochastische Differentialgleichungen
(Ito-Integral und -kalkül, Martingale, Stratonovich-Integral, Ito-Diffusion)
Diffusionsprozesse
(infinitesimaler Erzeuger, Fokker-Planck-Gleichung, Dynkin-Formel, First-exit-time-Probleme, Randwertprobleme)
Molekulare Transportphänomene
(Brownsche Bewegung in der Physik, Modellierung des Propagators, anomaler Transport)

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Literaturhinweise

[1] Øksendal: Stochastic Differential Equations (Springer, 2010)5
[2] Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie (Springer, 2013)
[3]Gardiner: Handbook of Stochastic Methods (Springer, 2004)
[4]van Kampen: Stochastic Processes in Physics and Chemistry (Elsevier, 2007)
[5] Dynkin: Markov processes (Springer, 1965)

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