WiSe 18/19: Der de-Rham-Witt-Komplex
Kay Rülling
Zusätzl. Angaben / Voraussetzungen
Voraussetzungen: Für den Bau des großen dRW-Komplexes sind nur Grundkenntnisse der kommutativen Algebra und der Differenzialtheorie erforderlich. Dann benötigen wir einen soliden Hintergrund in algebraischer Geometrie, wie in Hartshorne's Buch - typische Theorie in positiver Eigenschaft und erklären die wichtigsten Ergebnisse von Bloch und Deligne-Illusie. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir einige klassische und auch einige der neueren Entwicklungen, die oben erwähnt wurden, besprechen.
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Der de Rham-Witt-Komplex wurde von Bloch und Deligne-Illusie in den späten 1970er Jahren eingeführt. Seine wichtigsten Ergebnisse waren erstens, dass die Zariski-Kohomologie dieses Komplexes Grothendieck-Berthelot's kristalline Kohomologie eines glatten Schemas über ein perfektes Feld positiver Eigenschaften berechnet, und zweitens, dass, wenn X zusätzlich richtig ist, dann die Hangzerlegung à la Dieudonné-Manin des zugrunde liegenden F-Isokristalls eine kohomologische Interpretation erhält.
Nygaard nutzte die dRW-Theorie, um einen leichteren Beweis für das Rudakov-Shafarevich-Verschwinden des Theorems auf K3-Oberflächen zu liefern, und um Ogus-Mazurs Theorem über die Beziehung zwischen dem Newton - und dem Hodge-Polygon der kristallinen Kohomologie eines glatten richtigen Schemas zu verallgemeinern. Ekedahl konstruierte eine Dualitätstheorie für den dRW-Komplex und gab einen neuen Beweis für die Poincare-Dualität und die Künneth-Zerlegung.
Er analysierte auch die Hodge-Witt-Kohomologie-Gruppen, aber diese Gruppen und insbesondere ihre Torsion sind immer noch sehr geheimnisvoll und bis heute nicht gut verstanden.
Es gibt viele Varianten und Verallgemeinerungen des de-Rham-Witt-Komplexes, die sich in unterschiedlichen Zusammenhängen zeigen. Es gibt eine Log-Version von Hyodo-Kato, eine relative Version von Langer-Zink, die überkonvergente dRW von Davis-Langer-Zink, die große dRW für beliebige Ringe (oder Schemata) von Hesselholt-Madsen; sie beziehen sich auf (log/relative)-kristalline und starre Kohomologie, K-Theorie, motivische Kohomologie und topologische Hochschild Homologie, etc.
In diesem Kurs werden wir eine detaillierte Konstruktion der großen Witt-Vektoren und des dRW-Komplexes über einen allgemeinen Ring geben. Dann konzentrieren wir uns auf die p-typische Theorie in positiver Eigenschaft und erklären die wichtigsten Ergebnisse von Bloch und Deligne-Illusie. Wenn es die Zeit erlaubt, werden wir einige klassische und auch einige der neueren Entwicklungen, die oben erwähnt wurden, besprechen.
SchließenLiteraturhinweise
S. Bloch, Algebraic K-theory and crystalline cohomology.
Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 47, 187-268 (1977).
L. Illusie, Complexe de De Rham-Witt et cohomologie cristalline.
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 12, 501--661 (1979).
W. E. Lang; N. O. Nygaard, A short proof of the Rydakov-Safarevic theorem.
Math. Ann. 251, 171-173 (1980).
N. O. Nygaard, Slopes of powers of Frobenius on crystalline cohomology.
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 14, 369-401 (1981).
L. Illusie; M. Raynaud, Les suites spectrales associées au complexe de De Rham-Witt.
Publ. Math., Inst. Hautes Étud. Sci. 57, 73-212 (1983).
L. Illusie, Finiteness, duality, and Künneth theorems in the cohomology of the De Rham Witt complex.
Algebraic geometry, Proc. Jap.-Fr. Conf., Tokyo and Kyoto 1982, Lect. Notes Math. 1016, 20-72 (1983).
T. Ekedahl, On the multiplicative properties of the de Rham-Witt complex. I.
Ark. Mat. 22, 185-239 (1984).
T. Ekedahl, On the multiplicative properties of the de Rham-Witt complex. II.
Ark. Mat. 23, 53-102 (1985).
M. Gros, Classes de Chern et classes de cycles en cohomologie de Hodge-Witt logarithmique.
Mém. Soc. Math. Fr., Nouv. Sér. 21, 87 p. (1985).
T. Geisser; M. Levine, The K-theory of fields in characteristic p.
Invent. Math. 139, No.3, 459-493 (2000).
A. Langer; T. Zink, De Rham-Witt cohomology for a proper and smooth morphism.
J. Inst. Math. Jussieu 3, No. 2, 231-314 (2004).
S. Bloch, Crystals and de Rham-Witt connections.
J. Inst. Math. Jussieu 3, No. 3, 315-326 (2004).
L. Hesselholt, I. Madsen, On the de Rham-Witt complex in mixed characteristic.
Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. 37 (4), 1-43 (2004).
C. Davis; A. Langer; T. Zink, Overconvergent de Rham-Witt cohomology.
Ann. Sci. Éc. Norm. Supér. (4) 44, No. 2, 197-262 (2011).
L. Hesselholt, The big de Rham-Witt complex.
Acta Math. 214, 135-207 (2015).
J. Cuntz; C. Deninger, Witt vector rings and the relative de Rham Witt complex.
J. Algebra 440, 545-593 (2015).
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