19030b
Undergraduate Course
WiSe 12/13: Proseminar Analysis
Alexander Schmitt
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Vorbesprechung am 17.10.2012
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Inhalt:
Grundlagen der Nichtstandard-Analysis (nach Nelson) In der Analysis wird das Rechnen mit infinitesimalen Groessen durch den Grenzwertbegriff formalisiert. Robinson hat den Koerper der reellen Zahlen so erweitert, dass er infinitesimale Elemente enthaelt, d.h. positive Zahlen, die kleiner als alle positiven reellen Zahlen sind. Nelson hat spaeter beobachtet, dass man die Axiome der Mengenlehre so erweitern kann, dass der "uebliche Koerper" der reellen Zahlen "Standard-" und "Nichtstandard-Elemente" enthaelt. Unter den Nichtstandard-Elementen finden sich dabei wieder solche, die positiv und kleiner als alle positiven Standard-Elemente sind. Im Proseminar wird besprochen, wie mit Hilfe der infinitesimalen Elemente die grundlegenden Aussagen der Analysis neu formuliert und bewiesen werden koennen.
Zielgruppe:
Studierende im Bachelor- oder Lehramtsbachelor mit Interesse an Analysis und Logik
Voraussetzungen:
Analysis I,II, Lineare Algebra I,II Gefestiger Umgang mit dem mathematischen Formalismus, insbesondere der Aussagenlogik
Literatur:
Grundlagen der Nichtstandard-Analysis (nach Nelson) In der Analysis wird das Rechnen mit infinitesimalen Groessen durch den Grenzwertbegriff formalisiert. Robinson hat den Koerper der reellen Zahlen so erweitert, dass er infinitesimale Elemente enthaelt, d.h. positive Zahlen, die kleiner als alle positiven reellen Zahlen sind. Nelson hat spaeter beobachtet, dass man die Axiome der Mengenlehre so erweitern kann, dass der "uebliche Koerper" der reellen Zahlen "Standard-" und "Nichtstandard-Elemente" enthaelt. Unter den Nichtstandard-Elementen finden sich dabei wieder solche, die positiv und kleiner als alle positiven Standard-Elemente sind. Im Proseminar wird besprochen, wie mit Hilfe der infinitesimalen Elemente die grundlegenden Aussagen der Analysis neu formuliert und bewiesen werden koennen.
Zielgruppe:
Studierende im Bachelor- oder Lehramtsbachelor mit Interesse an Analysis und Logik
Voraussetzungen:
Analysis I,II, Lineare Algebra I,II Gefestiger Umgang mit dem mathematischen Formalismus, insbesondere der Aussagenlogik
Literatur:
- Alain M. Robert: Nonstandard analysis. Dover Publications, Inc., Mineola, NY, 2003. xx+156 pp. ISBN: 0-486-43279-3.
- Dieter Landers, Lothar Rogge: Nichtstandard Analysis. Springer-Lehrbuch. Springer-Verlag, Berlin, 1994. x+485 pp. ISBN: 3-540-57115-9. (Dieses Buch enthaelt einen Vergleich der beiden Zugaenge zur Nichtstandard-Analysis.)
- Weitere Literatur wird waehrend des Kurses bekanntgegeben. close
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