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WiSe 12/13: Freie Gruppen und Graphen

Elmar Vogt

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Inhalt Ergänzungsmodul Ausgewählte ForschungsthemenFreie Gruppen sind recht einfache Gruppen. Sie werden klassifiziert durch ihren Rang, d. h. die Kardinalität eines minimalen Erzeugendensystems (Basis), und gegeben eine solche Basis, so lässt sich im wesentlichen jedes Element eindeutig als Wort in den Basiselementen und derer Inversen schreiben. Eine wichtige Eigenschaft freier Gruppen ist, dass jede Gruppe homomorphes Bild einer freien Gruppe ist. Die Präsentierung einer Gruppe als Bild einer freien Gruppe ist aber weit davon entfernt, eindeutig zu sein. Dies führt zu vielen teilweise sehr komplexen Fragen über freie Gruppen und deren Automorphismengruppen.Graphen tauchen dabei ganz natürlich auf. Die Fundamentalgruppen von Graphen sind freie Gruppen, und topologisch motivierte graphentheoretische Methoden helfen sehr beim Studium von Fragen über freie Gruppen.Graphen spielen auch eine zentrale Rolle beim Studium der Automorphismengruppen freier Gruppen, einer hochkomplexen Gruppe. Umgekehrt wie sonst in der Topologie, in der man Räume durch ihnen zugeordnete Gruppen studiert, sucht man in der geometrischen Gruppentheorie zu gegebenen Gruppen möglichst einfache Räume, auf denen die Gruppen in vernünftiger Weise operieren, um aus der Geometrie der Räume und Operationen Informationen über die Gruppen herauszufiltern. Für Automorphismengruppen freier Gruppen haben Culler und Vogtmann einen solchen Raum konstruiert, den sogenannten Outer Space. Diesem und einigen seiner Eigenschaften ist der zweite Teil der Vorlesung gewidmet.Die Automorphismengruppen endlich erzeugter freier Gruppen werden seit Jahrzehnten intensiv untersucht. Sie gehören zu der Familie von Gruppen, für die einige der wichtigsten Vermutungen in der Topologie hochdimensionaler Mannigfaltigkeiten für richtig gehalten werden, aber diese Vermutungen sich bisher einem Beweis widersetzen. Man hofft, dass ein besseres Verständnis des Outer Space und der Operation der Automorphismen der freien Gruppen auf Outer Space einen Zugang zum Beweis dieser Vermutungen öffnet. Daher das große Interesse an den Automorphismengruppen freier Gruppen und Outer Space.Die oben angesprochenen Vermutungen und damit auch Outer Space und die Automorphismengruppen freier Gruppen stehen im Zentrum der Forschungsinteressen der Topologiegruppe an unserem Fachbereich. Zielgruppe Studenten im Masterstudium Voraussetzungen Nützlich sind Grundkenntnisse über Gruppen. Wer die Definition und einfachste Eigenschaften der Fundamentalgruppe kennt und etwas über Überlagerungen weiß, wird sich etwas schneller zurechtfinden. Literatur Es gibt eine Mitschrift einer früheren Vorlesung von Holger Reich und die Masterarbeit von Sebastian Meinert. Weitere Literatur wird in der Vorlesung angegeben close